三角 関数。 三角関数の合成

三角関数は何に使えるのか 〜 サイン・コサイン・タンジェントの活躍 〜

三角 関数

「」とは異なります。 三角関数(さんかくかんすう、: trigonometric function)とは、平面における、の大きさとの長さの関係を記述するのおよび、それらを拡張して得られる関数の総称である。 を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比であり、三角関数は 三角比とも呼ばれる。 三角法に由来する 三角関数という呼び名のほかに、後述するを用いた定義に由来する 円関数(えんかんすう、: circular function)という呼び名がある。 三角関数には以下の6つがある。 sin( 正弦、 sine)• sec( 正割、 secant)• tan( 正接、 tangent)• cos( 余弦、 cosine)• csc( 余割、 co se cant)• cot( 余接、 cotangent) 特に sin, cos は的にも的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。 例えばやなどは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。 この事実はおよびの理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。 他にものやは正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。 初等的には、三角関数はをとする一変数関数として定義される。 三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のようななものに対するなどが挙げられる。 三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数のとに関するものがある。 文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。 三角関数に似た性質を持つ関数として、や、などがある。 また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにがある。 ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。 それぞれ 正弦( sine; サイン)、 正割( secant; セカント)、 正接( tangent; タンジェント)、 余弦( cosine; コサイン)、 余割( cosecant; コセカント)、 余接( cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて 三角比と呼ばれる。 ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。 これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためが発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。 一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。 後述するは初等幾何学におけるそのような拡張の例である。 他に同等な方法として、やを用いる方法などがある。 このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。 さらにこれらのとして以下の 3 つの関数が定義される。 特に csc, sec, cot は 割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ばれることがある。 級数による定義 [ ] 角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、またをに拡張するために、を用いて定義することもできる。 この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。 以下の級数は共に示される収束円内でする。 z を、 B n を、 E n をとする。 これらの関数の周期性が確認できる。 詳細は「」を参照 単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。 これは ピタゴラスの基本三角関数公式 Fundamental Pythagorean trigonometric identity と呼ばれている。 上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。 負角 [ ] sin および cos については、冪級数による表示から明らかである。 加法定理 [ ] PQ( 緑の線分の長さ)を求める。 また、から加法定理を示す方法が挙げられる。 この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。 2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。 以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。 P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ 2 を 2 通りの方法で求めることを考える(右図も参照)。 P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ 2 を求める。 微積分 [ ] 三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。 ただし、これらの結果には様々な(一見同じには見えない)表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。 このとき、 sin x のが cos x であることは加法定理から従う(が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される)。 また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。 これは一般的な日本の高校の教科書 にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある。 ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。 例えば面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。 三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。 このことが循環論法と呼ばれているのである。 循環論法を回避する方法の 1 つは、正弦関数と余弦関数を上述のような無限級数で定義するものである(これは三角関数の標準的な定義の 1 つである。 また、この無限級数の収束半径は無限大である(すなわち任意の実数や複素数で収束する))。 しかしながら、このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。 無限乗積展開 [ ] 詳細は「」を参照 三角関数は以下のようにとして書ける。 arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。 数値計算などにおいては、これらの逆関数はさらに asin, acos, atan などと書き表される。 逆関数はではないので注意したい。 一般に周期関数の逆関数はになるので、通常は逆三角関数を一価なる枝に制限して考えることが多い。 この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。 ここで cosh z, sinh z はを表す。 この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。 余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。 2014年10月6日閲覧。 内藤, 久資 1999年. 2014年10月17日閲覧。 , pp. 176—183. , pp. 202—206. , pp. 95—105. 幡谷泰史; 廣澤史彦. 2014年10月7日閲覧。 瓜生, 等. 2014年10月8日閲覧。 Leff, Lawrence S. 2005. 7th ed. Barron's Educational Series. 296. 2015年1月20日閲覧。 2015年1月20日閲覧。 新関章三(元高知大学),矢野 忠(元愛媛大学). 2015年1月21日閲覧。 川中宣明. 2015年1月18日閲覧。 , p. 175. 三角関数、円周率、曲線の長さ等の定義の仕方は、複数の流儀がある。 ここでは, pp. 175—185 に従った。 参考文献 [ ]• 1998. Trigonometric Delights. 『古典的難問に学ぶ微分積分』、2013年7月。 2004-09-10. The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers revised ed. Dover. 、『多重三角関数論講義』、2010年11月8日。 『解析入門I』〈基礎数学2〉、1980年。 『微分積分』共立出版〈共立講座21世紀の数学 第1巻〉、2002年。 『定本 解析概論』岩波書店、2010年、改訂第3版。 『解析入門I』岩波書店、2003年、軽装版。 関連項目 [ ]• - cos 関数を用いて表現される。 - 正円の三角関数との関係• - 三角関数のベジエ曲線による近似• - 上での三角関数の実装に使用• - 歌詞が解き方になっている 外部リンク [ ]• これなあに.

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【標準】一般角の三角関数と鋭角の三角関数

三角 関数

「」とは異なります。 三角関数(さんかくかんすう、: trigonometric function)とは、平面における、の大きさとの長さの関係を記述するのおよび、それらを拡張して得られる関数の総称である。 を扱う場合、三角関数の値は対応する直角三角形の二辺の長さの比であり、三角関数は 三角比とも呼ばれる。 三角法に由来する 三角関数という呼び名のほかに、後述するを用いた定義に由来する 円関数(えんかんすう、: circular function)という呼び名がある。 三角関数には以下の6つがある。 sin( 正弦、 sine)• sec( 正割、 secant)• tan( 正接、 tangent)• cos( 余弦、 cosine)• csc( 余割、 co se cant)• cot( 余接、 cotangent) 特に sin, cos は的にも的にも良い性質を持っているので、様々な分野で用いられる。 例えばやなどは正弦関数と余弦関数を組み合わせることで表現することができる。 この事実はおよびの理論として知られ、音声などの信号の合成や解析の手段として利用されている。 他にものやは正弦関数および余弦関数を用いて表すことができ、ベクトルを図形に対応づけることができる。 初等的には、三角関数はをとする一変数関数として定義される。 三角関数の変数の対応するものとしては、図形のなす角度や、物体の回転角、波や信号のようななものに対するなどが挙げられる。 三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数のとに関するものがある。 文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。 三角関数に似た性質を持つ関数として、や、などがある。 また、三角関数を利用して定義される関数としてしばしば応用されるものにがある。 ゆえに、角度に対して辺比の値を与える関数を考えることができる。 それぞれ 正弦( sine; サイン)、 正割( secant; セカント)、 正接( tangent; タンジェント)、 余弦( cosine; コサイン)、 余割( cosecant; コセカント)、 余接( cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて 三角比と呼ばれる。 ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。 これは分母となる辺の比の大きさが 0 になるためが発生し、その除算自体が数学的に定義されないからである。 一般の角度に対する三角関数を得るためには、三角関数について成り立つ何らかの定理を指針として、定義の拡張を行う必要がある。 後述するは初等幾何学におけるそのような拡張の例である。 他に同等な方法として、やを用いる方法などがある。 このとき実変数 t に対する三角関数は以下のように定義される。 さらにこれらのとして以下の 3 つの関数が定義される。 特に csc, sec, cot は 割三角関数(かつさんかくかんすう)と呼ばれることがある。 級数による定義 [ ] 角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、またをに拡張するために、を用いて定義することもできる。 この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。 以下の級数は共に示される収束円内でする。 z を、 B n を、 E n をとする。 これらの関数の周期性が確認できる。 詳細は「」を参照 単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。 これは ピタゴラスの基本三角関数公式 Fundamental Pythagorean trigonometric identity と呼ばれている。 上記の式を変形して整理すれば、以下の式が導かれる。 負角 [ ] sin および cos については、冪級数による表示から明らかである。 加法定理 [ ] PQ( 緑の線分の長さ)を求める。 また、から加法定理を示す方法が挙げられる。 この方法では、円周上の任意の 2 点間の距離を 2 通りの座標系について求めることで、両者が等しいことから加法定理を導く。 2 点間の距離を求めるのに三平方の定理を用いる。 以下では単位円のみを取り扱うが、円の半径によらずこの方法から加法定理を得ることができる。 P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ 2 を 2 通りの方法で求めることを考える(右図も参照)。 P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ 2 を求める。 微積分 [ ] 三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。 ただし、これらの結果には様々な(一見同じには見えない)表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。 このとき、 sin x のが cos x であることは加法定理から従う(が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される)。 また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。 これは一般的な日本の高校の教科書 にも載っているものであるが、循環論法であるため論理が破綻しているという主張がなされることがある。 ここで問題となるのは、証明に面積やラジアン、弧長が利用されていることである。 例えば面積について言えば、面積は積分によって定義されるものであるとすると、扇形の面積を求めるには三角関数の積分が必要となる。 三角関数の積分をするには三角関数の微分ができなければならないが、三角関数を微分するにはもとの極限が必要になる。 このことが循環論法と呼ばれているのである。 循環論法を回避する方法の 1 つは、正弦関数と余弦関数を上述のような無限級数で定義するものである(これは三角関数の標準的な定義の 1 つである。 また、この無限級数の収束半径は無限大である(すなわち任意の実数や複素数で収束する))。 しかしながら、このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。 無限乗積展開 [ ] 詳細は「」を参照 三角関数は以下のようにとして書ける。 arcsin, arccos, arctan などの記法もよく用いられる。 数値計算などにおいては、これらの逆関数はさらに asin, acos, atan などと書き表される。 逆関数はではないので注意したい。 一般に周期関数の逆関数はになるので、通常は逆三角関数を一価なる枝に制限して考えることが多い。 この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。 ここで cosh z, sinh z はを表す。 この等式は三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることもできる。 余弦公式や正弦余弦公式は式の対称性により各記号を入れ替えたものも成立する。 2014年10月6日閲覧。 内藤, 久資 1999年. 2014年10月17日閲覧。 , pp. 176—183. , pp. 202—206. , pp. 95—105. 幡谷泰史; 廣澤史彦. 2014年10月7日閲覧。 瓜生, 等. 2014年10月8日閲覧。 Leff, Lawrence S. 2005. 7th ed. Barron's Educational Series. 296. 2015年1月20日閲覧。 2015年1月20日閲覧。 新関章三(元高知大学),矢野 忠(元愛媛大学). 2015年1月21日閲覧。 川中宣明. 2015年1月18日閲覧。 , p. 175. 三角関数、円周率、曲線の長さ等の定義の仕方は、複数の流儀がある。 ここでは, pp. 175—185 に従った。 参考文献 [ ]• 1998. Trigonometric Delights. 『古典的難問に学ぶ微分積分』、2013年7月。 2004-09-10. The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers revised ed. Dover. 、『多重三角関数論講義』、2010年11月8日。 『解析入門I』〈基礎数学2〉、1980年。 『微分積分』共立出版〈共立講座21世紀の数学 第1巻〉、2002年。 『定本 解析概論』岩波書店、2010年、改訂第3版。 『解析入門I』岩波書店、2003年、軽装版。 関連項目 [ ]• - cos 関数を用いて表現される。 - 正円の三角関数との関係• - 三角関数のベジエ曲線による近似• - 上での三角関数の実装に使用• - 歌詞が解き方になっている 外部リンク [ ]• これなあに.

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基礎から発展まで 三角関数 (専門数学への懸け橋)

三角 関数

合成公式はとても重要で、暗記が必須です。 証明方法を理解しておくとより定着しますよ。 自分で証明してみると、より理解が深まりますよ。 例題 次の三角関数を合成しましょう。 それぞれ見てみましょう。 そうすると、各項にかかっている 係数を三角比の値と見ることができます。 おそらく、慣れてしまえば作図の方が簡単だと思います。 ですが、式変形の方が三角関数の合成の本来の意味に従っているので、式変形のやり方も必ず理解しておきましょう。 したがってグラフは次のようになる。 答え:.

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